Achille piè veloce, parte prima

Achille piè veloce, parte prima

Introduzione

I quattro lettori del mio blog, sparsi fra un villaggio di pescatori delle Filippine, una fattoria sperduta della Norvegia e la remota periferia di una triste città italiana del nord-est, sono ormai abituati alla eterogeneità dei contenuti di questa isola del pelago binario, che vanno da articoli di immunologia concepiti per non essere capiti (R) a dimostrazioni gratuitamente complicate di teoremi semplici (R); da ricordi struggenti di meccanica del corpo rigido (R) a poesie che chiedono l’assoluzione nel nome abusato di Ungaretti (R); senza dimenticare programmi che – unici al mondo – eseguono le operazioni in modo più inefficiente di un essere umano discalculico (R), e disegni che hanno sicuramente un significato simbolico profondo, di cui io però ignoro la natura (R); passando per vademecum di medicina scritti da una persona che non ha saputo curare se stesso (R), in decenni di tentativi. I miei lettori dunque, consapevoli che questo sito è un monumento al mio sforzo versatile di farmi notare, non si stupiranno a questo punto di trovare qui anche la recensione di un romanzo: Achille piè veloce, di Stefano Benni. Ma sarà una recensione particolare questa, perché non parlerò né del libro né dell’autore: parlerò di me, tanto per cambiare. Visto che il mio editore (cioè io) mi concede qualunque licenza, faccio quello che mi riesce meglio: attirare l’attenzione.

Consegna a domicilio

Il pomeriggio del 6 dicembre, Mercurio, messaggero degli dèi, suona al mio citofono. Quattro piani dopo, un ragazzo alto e agile si mette in posa nella cornice della porta, l’estrema propagine del mio regno, con un plico: la bruna missiva con il sigillo regale di Amazon Prime. Non aspettavo nulla, ma se non c’è da pagare, accetto di buon grado. Scruto un po’ sovrappensiero il messo, e attribuisco al suo sorriso un qualche significato recondito, immagino che sappia qualcosa di me e del messaggio che porta, qualcosa che ignoro: una classica psicosi di grandezza la mia, una infermiera seducente che nutre l’autostima, la imbocca quando è a terra, da anni. Lascio la luce del mondo e l’aria invernale oltre lo sguardo, rimando l’uscio come se chiudessi un frigorifero nella notte. Dopo una lotta con l’involucro tetragono, trovo un libro su un tale in sedia a rotelle che vive in una stanza (come deduco dalla quarta di copertina); niente messaggi né mittente. Ma è il 6 dicembre, un anniversario. E collego subito i puntini: la consegna del libro a domicilio celebra l’inizio e la fine di un’altra consegna periodica; consegna di gnocchi, anzi di uno solo, declinato al femminile (così si annunciava al citofono, parole sue). Non solo di quello, certo: anche di patemi d’animo, di telefonate interminabili e senza senno, di promesse traditrici, di tenerezza, di lacrime arretrate, di gelosie pretestuose e di bugie con le gambe lunghe, in calze nere.

La seconda parte è disponibile qui.

Annunci

Pelago binario

Pelago binario

Non volevo, ma persi il mondo e la mia vita, tanti anni fa; ieri per me. Ho combattuto contro la forza oscura, con tutte le mie forze. E nessuno lo saprà mai, non c’è una foto con quel mostro, che io possa caricare su Instagram. Solo dei disegni, che però vengono invariabilmente interpretati come brutti tentativi fumettistici, anziché testimonianze di una tragedia reale e sconosciuta.

Ho sempre avuto paura che nessuno avrebbe saputo quello che mi era successo, per questo ho strappato quelle figure alla mia condanna al nulla, con tenacia di cui non resta narrazione. A volte sono solo scarabocchi, il massimo che potessi fare, uniche testimonianze magari di un paio di anni di sofferenza e vuoto; altre volte ho avuto alcuni giorni in cui ho potuto far danzare la grafite come se non ci fosse un domani, come se scrivessi il mio testamento. Finendo appena in tempo, prima di spegnermi di nuovo. Ma i risultati sono miseri: in quei giorni – cinque o sei che fossero – dovevo reimparare a pensare, a disegnare, ideare l’opera, farne una prima versione e poi arrivare a produrre qualcosa che fosse finito; un testimone che parlasse per me, se io non ci fossi stato mai più. O se fossi stato via per altri anni.

Potrei dire che ho visto il mondo dalla finestra, ma non è così: il mondo è finito lontano lontano, e dalla finestra non vedo nulla, se non la polvere sulle imposte. Lo spazio per me non arriva oltre il velo inesorabile che mi è caduto sul viso. Le poche volte che il mondo si è seduto sul mio letto, magari con il fruscio di una gonna, mi ha causato solo dolore, abbastanza da promettermi di evitarlo accuratamente. Affrancandomi così dalla contemplazione dello scarto incolmabile tra me e gli altri.

La mia vera finestra è stata lo schermo, quello della TV prima, quello del computer poi. Della TV non ricordo nulla, se non il peso nella pancia – a volte – davanti a delle vite che avrei voluto vivere: la luce dello schermo nella stanza buia si rifletteva allora su una lacrima silenziosa, foglia caduca di un bosco disabitato. Poi ci fu internet, focolare senza calore, e arrivarono delle presenze con cui ho puntellato la mia solitudine. E così mi sono trovato escluso dal mondo reale e dalla mia stessa vita, ma con un visto di soggiorno nelle piccole isole autonome del pelago binario.

Sum of independent exponential random variables with the same parameter

Sum of independent exponential random variables with the same parameter

Introduction

Let X_1, X_2, …, X_m be independent random variables with an exponential distribution. We have already found the expression of the distribution of the random variable Y = X_1 + X_2 + …+ X_m when X_1, X_2, …, X_m have pairwise distinct parameters (here). The reader will easily recognize that the formula we found in that case has no meaning when the parameters are all equal to λ. I will derive here the law of Y in this circumstance. This can be done with a demonstration by induction, with no particular effort, but I will follow a longer proof. Why? Perhaps because I like pain? Yes, this might be true; but the main reason is that, to me,  this longer demonstration is quite interesting and it gives us the chance to introduce the following proposition. In this blog post, we will use some of the results from the previous one on the same topic and we will follow the same enumeration for propositions.

PROPOSITION 8 (sum of m independent random variables). Let X_1, X_2, … , X_m be independent random variables. The law of Y = X_1 + X_2 + … + X_m is given by:

Proof. We know that the thesis is true for m=2 (PROP. 1). Consider now that:

 But we know that X_1, X_2, … , X_m are independent. So we have:

We now operate the substitution

And we obtain:

But this has to be true for any possible interval [a, b], which means that:

This is one of the equations in the thesis. The other ones can be derived in the same way ♦

Guessing the solution

I will solve the problem for m = 2, 3, 4 in order to have an idea of what the general formula might look like. 

PROPOSITION 9 (m=2). Let X_1, X_2 be independent exponential random variables with the same parameter λ. The law of Y _1 = X_1 + X_2 is given by:

for y > 0. It is zero otherwise.

Proof. We just have to substitute f_X_1, f_X_2 in Prop. 1. We obtain:

And we find the thesis by solving the integral ♦

PROPOSITION 10 (m=3). Let X_1, X_2, X_3  be independent exponential random variables with the same parameter λ. The law of Y = X_1 + X_2 + X_3 is given by:

for y>0. It is zero otherwise.

Proof. If we define Y_1 = X_1 + X_2 and Y_2 = X_3, then we can say – thanks to Prop. 2 – that Y_1 and Y_2 are independent. This means that – according to Prop. 1 – we have

And the proof is concluded ♦

PROPOSITION 11 (m=4). Let X_1, X_2, X_3, X_4 be independent exponential random variables with the same parameter λ. The law of Y = X_1 + X_2 + X_3 + X_4 is given by:

Proof. We can demonstrate the thesis in the same way we did in Prop. 10. We can draw the same conclusion by directly applying Prop. 8: 

The domain of integration is the tetrahedron in Figure 1. The generic point P within the tetrahedron has to belong to the segment AC that, in turns, belongs to the triangle shaded grey. This means that the domain of integration can be written [0, y]×[0, y – x_2]×[0, y – x_2 – x_3]. Thus, we calculate:

and the proof is concluded ♦

Proof

The reader has now likely guessed what the density of Y looks like when m is the generic integer number. But before we can rigorously demonstrate that formula, we need to calculate an integral.

PROPOSITION 12 (lemma). It is true that:

Proof. We have already found that the thesis is true when m = 4. Let us now assume that it is true for m – 1; if we write the thesis for the m – 2 variables x_3, x_4, … , x_m we have:

Now we put η = yx_2:

By integrating both members in [0, y] we obtain:

and the proof is concluded ♦

PROPOSITION 13. Let X_1, X_2, …, X_m be independent exponential random variables with the same parameter λ. The law of Y = X_1 + X_2 + … + X_m is given by:

Proof. By directly applying Prop. 8 we have:

But:

Thus, we can write:

The domain of integration can be written in a more proper way (as we did in Prop. 11) as follows:

But this is the integral calculated in Prop. 12, and the proof is concluded ♦

A numerical application

The reader might have recognized that the density of Y in Prop. 13 is in fact a Gamma distribution: it is the distribution Γ(m, λ), also known as Erlang’s distribution. There might even be a reader who perhaps remembers that I have discussed that distribution in a post of mine (here) and that I have coded a program that plots both the density and the distribution of such a law. In Figure 2 we see the density of Y (left) and the distribution function (right) for λ = 1.5 and for m that goes from 1 to 3 (note that m is indicated with α in that picture).

Figure 2. Density (left) and distribution function (right) of Y for λ = 1.5 and for m that goes from 1 to 3 (note that m is indicated with α in this picture).